जब आप नेकेड सिंगल और हिडन सिंगल आसानी से ढूँढ़ने लगते हैं, तो ज़्यादातर आसान सुडोकू जल्दी हल हो जाते हैं। फिर आप कोई मीडियम या कठिन पहेली खोलते हैं और अटक जाते हैं: हर खाली खाने में अब भी दो, तीन या चार पेंसिल-मार्क बचे हैं और कोई भी अंक पक्का नहीं हो रहा। ठीक यहीं सबसेट तकनीकें काम आती हैं: नेकेड पेयर, नेकेड ट्रिपल, हिडन पेयर और हिडन ट्रिपल। ये अक्सर खुद कोई अंक नहीं भरतीं, लेकिन फालतू कैंडिडेट हटा देती हैं, जिससे सिंगल फिर से दिखाई देने लगते हैं।
इस लेख में हम समझेंगे कि ये तकनीकें क्यों काम करती हैं, नेकेड और हिडन सबसेट में क्या फर्क है, असली ग्रिड में इन्हें कैसे पहचानें और कौन-सी गलतियाँ सबसे ज़्यादा समय बर्बाद करती हैं।
हर सबसेट के पीछे का मूल विचार
सभी सबसेट तकनीकें एक सरल गिनती वाले तर्क पर टिकी हैं। हर पंक्ति, कॉलम या 3×3 बॉक्स (इनमें से किसी को भी हम यूनिट कहेंगे) में 1 से 9 तक हर अंक ठीक एक बार आना चाहिए। अगर किसी यूनिट में आपको ऐसे N खाने मिलें जिनमें कुल मिलाकर केवल N अलग-अलग अंक ही आ सकते हैं, तो ये खाने ठीक उन्हीं अंकों को ले लेंगे। उस यूनिट का कोई दूसरा खाना इनमें से कोई अंक नहीं ले सकता।
इसका उल्टा रूप भी उतना ही सही है: अगर किसी यूनिट में N अंक केवल उन्हीं N खानों में जा सकते हैं, तो वे खाने इन अंकों के लिए आरक्षित हैं और उन खानों के बाकी सभी कैंडिडेट हटाए जा सकते हैं।
पहली स्थिति को नेकेड (खुला) सबसेट और दूसरी को हिडन (छिपा) सबसेट कहते हैं। बाकी सब इसी का विस्तार है।
नेकेड पेयर
नेकेड पेयर एक ही यूनिट के ऐसे दो खाने हैं जिनमें ठीक वही दो कैंडिडेट हों और कुछ नहीं। पहेली चाहे जैसे भी हल हो, एक खाने में पहला अंक जाएगा और दूसरे में दूसरा। यानी उस यूनिट में ये दोनों अंक "बुक" हो चुके हैं।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक पंक्ति में पहले से 1, 3, 5 और 8 भरे हैं। A से E तक के पाँच खाली खानों के कैंडिडेट ये हैं:
| खाना | पहले के कैंडिडेट | बाद के कैंडिडेट |
|---|---|---|
| A | {2,7} | {2,7} |
| B | {2,7} | {2,7} |
| C | {2,4,6,7} | {4,6} |
| D | {4,6,9} | {4,6,9} |
| E | {2,6,7,9} | {6,9} |
A और B दोनों में केवल {2,7} है। इनमें से एक 2 होगा और दूसरा 7, इसलिए C, D या E में न 2 आ सकता है न 7। इन्हें हटाने पर C में {4,6} और E में {6,9} बचते हैं। D पर कोई असर नहीं पड़ता। ध्यान दें कि बाकी तीन खानों में अब केवल 4, 6 और 9 बचे हैं, जो इसी तर्क का अगला कदम है।
अगर नेकेड पेयर के दोनों खाने एक ही बॉक्स में भी हों, तो आप इन दोनों अंकों को दोनों यूनिट से हटा सकते हैं। इसे कभी-कभी लॉक्ड पेयर कहा जाता है।
नेकेड ट्रिपल: हर खाने में तीनों अंक होना ज़रूरी नहीं
नेकेड ट्रिपल एक यूनिट के ऐसे तीन खाने हैं जिनके कैंडिडेट मिलाकर केवल तीन अंकों से बने हों। यहीं ज़्यादातर खिलाड़ी गलती करते हैं: हर खाने में तीनों अंक होना ज़रूरी नहीं है। मायने रखता है उनके कैंडिडेट का कुल मेल (यूनियन)। {1,5}, {5,8}, {1,8} पूरी तरह वैध नेकेड ट्रिपल है, और {1,5,8}, {1,5}, {5,8} भी।
हल किया गया उदाहरण
एक कॉलम में पहले से 2, 3, 6 और 7 हैं, और P से T तक पाँच खाली खाने हैं:
| खाना | पहले के कैंडिडेट | बाद के कैंडिडेट |
|---|---|---|
| P | {1,5} | {1,5} |
| Q | {5,8} | {5,8} |
| R | {1,8} | {1,8} |
| S | {1,4,5,9} | {4,9} |
| T | {4,8,9} | {4,9} |
P, Q और R मिलकर केवल 1, 5 और 8 का इस्तेमाल करते हैं। तीन खानों को तीन अलग-अलग अंक चाहिए और उनके पास यही तीन विकल्प हैं, इसलिए 1, 5 और 8 तीनों P, Q और R में ही जाएँगे। इन्हें S और T से हटाया जा सकता है। अब S और T दोनों {4,9} हैं: एक नया नेकेड पेयर। सबसेट में ऐसी चेन-रिएक्शन बहुत आम है।
एक काम की जाँच: अगर कभी किसी यूनिट में ऐसे चार खाने मिलें जिनके कैंडिडेट केवल तीन अंकों से बने हों, तो ग्रिड में पहले से कोई गलती है। वापस जाकर अपने पेंसिल-मार्क जाँचिए।
हिडन पेयर
हिडन सबसेट पहेली को खानों की बजाय अंकों की तरफ से देखते हैं। हिडन पेयर ऐसे दो अंक हैं जो किसी यूनिट में केवल उन्हीं दो खानों में कैंडिडेट के रूप में दिखते हैं। उन खानों में दूसरे कैंडिडेट भी हो सकते हैं, इसीलिए यह जोड़ी "छिपी" रहती है।
हल किया गया उदाहरण
एक पंक्ति में 1, 5 और 8 भरे हैं। A से F तक छह खाली खाने इस तरह हैं:
| खाना | पहले के कैंडिडेट | बाद के कैंडिडेट |
|---|---|---|
| A | {2,3,6,9} | {3,6} |
| B | {3,4,6} | {3,6} |
| C | {2,4,9} | {2,4,9} |
| D | {2,4,7} | {2,4,7} |
| E | {7,9} | {7,9} |
| F | {2,7,9} | {2,7,9} |
एक-एक अंक देखिए। 3 केवल A और B में है। 6 भी केवल A और B में है। 3 और 6 को इस पंक्ति में कहीं न कहीं आना ही है और उन्हें केवल A और B ही ले सकते हैं, इसलिए A और B में 3 और 6 ही आएँगे। इन दोनों खानों के बाकी सभी कैंडिडेट (A में 2 और 9, B में 4) हटाए जा सकते हैं। सफाई के बाद A और B एक सामान्य नेकेड पेयर बन जाते हैं।
हिडन ट्रिपल
हिडन ट्रिपल ऐसे तीन अंक हैं जो किसी यूनिट में केवल उन्हीं तीन खानों तक सीमित हों। नेकेड ट्रिपल की तरह यहाँ भी हर खाने में तीनों अंक होना ज़रूरी नहीं; शर्त बस इतनी है कि ये अंक यूनिट में और कहीं न दिखें।
हल किया गया उदाहरण
एक बॉक्स में 3, 6 और 8 भरे हैं। इसके छह खाली खानों (1 से 6 तक) के कैंडिडेट ये हैं:
| खाना | पहले के कैंडिडेट | बाद के कैंडिडेट |
|---|---|---|
| 1 | {1,2,4,9} | {1,4} |
| 2 | {4,5,7} | {4,7} |
| 3 | {1,7,9} | {1,7} |
| 4 | {2,5} | {2,5} |
| 5 | {2,5,9} | {2,5,9} |
| 6 | {5,9} | {5,9} |
देखिए 1, 4 और 7 कहाँ जा सकते हैं: 1 खाना 1 और 3 में है, 4 खाना 1 और 2 में, और 7 खाना 2 और 3 में। तीनों अंक खाना 1, 2 और 3 तक सीमित हैं, इसलिए इन खानों में ठीक 1, 4 और 7 ही आएँगे। हम खाना 1 से 2 और 9, खाना 2 से 5, और खाना 3 से 9 हटा देते हैं।
अब खाना 4, 5 और 6 को देखिए: उनके कैंडिडेट {2,5}, {2,5,9} और {5,9} हैं, यानी 2, 5 और 9 का नेकेड ट्रिपल। यह संयोग नहीं है। किसी यूनिट में हर हिडन सबसेट के साथ बाकी खाली खानों में एक पूरक नेकेड सबसेट भी होता है। अगर एक दिखना मुश्किल हो, तो दूसरा ढूँढ़िए।
असली ग्रिड में सबसेट कैसे पहचानें
- पेंसिल-मार्क पूरे रखें। सबसेट तभी काम करते हैं जब हर संभव कैंडिडेट लिखा हो। एक छूटा हुआ कैंडिडेट आपको ऐसा "पेयर" दिखा सकता है जो असल में है ही नहीं।
- पहले नेकेड पेयर खोजें। एक ही यूनिट में दो कैंडिडेट वाले दो एक जैसे खाने सबसे जल्दी नज़र आते हैं।
- हिडन सबसेट के लिए खाने नहीं, अंक गिनें। कोई यूनिट चुनें और हर गायब अंक के लिए लिखें कि वह कितने खानों में जा सकता है। जिन अंकों के केवल दो या तीन ठिकाने हों, वही आपका सुराग हैं।
- कम खाली खानों वाली यूनिट को प्राथमिकता दें। पाँच खाली खानों वाली यूनिट में एक नेकेड पेयर का मतलब है बाकी तीन खानों में अपने-आप एक हिडन ट्रिपल; जो पढ़ने में आसान लगे, उसी का उपयोग करें।
- हर बार कैंडिडेट हटाने के बाद सिंगल पर लौटें। सबसेट का असली मकसद आसान चालें खोलना है।
आम गलतियाँ
- खाने एक ही यूनिट में न होना। ऐसे दो {2,7} खाने जिनकी कोई पंक्ति, कॉलम या बॉक्स साझा न हो, कुछ नहीं बताते।
- यूनिट के बाहर कैंडिडेट हटाना। किसी पंक्ति का नेकेड पेयर केवल उसी पंक्ति को साफ करता है, जब तक दोनों खाने बॉक्स या कॉलम भी साझा न करते हों।
- हिडन सबसेट में गलत कैंडिडेट हटाना। हिडन पेयर में आप उन दो खानों से दूसरे अंक हटाते हैं, न कि यूनिट के बाकी हिस्से से पेयर के अंक (वे वहाँ पहले से नहीं हैं)।
- यूनियन गलत गिनना। {1,5}, {5,8}, {1,9} नेकेड ट्रिपल नहीं है, क्योंकि मिलाकर इनमें चार अंक हैं।
- पुराने पेंसिल-मार्क पर भरोसा करना। कोई अंक भरने के बाद सबसेट खोजने से पहले उसकी पंक्ति, कॉलम और बॉक्स अपडेट करें।
ट्रिपल से क्वाड तक
यही तर्क चार खानों और चार अंकों पर भी लागू होता है: नेकेड क्वाड और हिडन क्वाड। ये सही तकनीकें हैं, लेकिन कम मिलती हैं और इन्हें देखना कठिन होता है। पूरक नियम की वजह से, सात या उससे कम खाली खानों वाली यूनिट में क्वाड का बाकी खानों में हमेशा एक आसान साथी (सिंगल, पेयर या ट्रिपल) होता है, जो आम तौर पर पहले नज़र आ जाता है। केवल आठ खाली खानों वाली यूनिट में हिडन क्वाड का साथी नेकेड क्वाड होता है, इसीलिए असली क्वाड मुख्य रूप से कठिन पहेलियों में दिखते हैं।
कठिनाई रेटिंग भी इसी क्रम को दिखाती है। Sudoku Explainer शैली की रेटिंग में नेकेड पेयर लगभग 3.0 और हिडन ट्रिपल लगभग 4.0 के आसपास आते हैं, और क्वाड इससे भी ऊपर। किसी खास पहेली की कठिनाई आप हमारे SE रेटिंग कैलकुलेटर से जाँच सकते हैं।
अब अभ्यास करें
सबसेट तब पक्के होते हैं जब आप इन्हें असली ग्रिड पर कुछ बार इस्तेमाल कर लेते हैं। किसी मीडियम सुडोकू से शुरुआत करें, सभी कैंडिडेट लिखें और अंदाज़ा लगाने से पहले हर यूनिट में एक नेकेड पेयर खोजें। फिर डेली सुडोकू आज़माएँ और देखें कि कितनी बार कोई हिडन पेयर ही अटकी हुई पहेली को खोलता है। एक हफ़्ते में पेयर और ट्रिपल आपको सिंगल जितने ही स्वाभाविक लगने लगेंगे।