हर सुडोकू खिलाड़ी कभी न कभी एक ही दीवार से टकराता है: सिंगल्स खत्म हो चुके हैं, पेयर और ट्रिपल से कुछ नहीं निकल रहा, और ग्रिड में अब भी दर्जनों खाने खाली हैं। ऐसे मोड़ पर बहुत-सी कठिन पहेलियाँ फ़िश (fish) नाम की तकनीकों से खुलती हैं। इनमें सबसे ज़्यादा काम आने वाली दो तकनीकें हैं X-Wing और Swordfish। चित्रों में ये भले ही उलझी हुई लगें, पर इनके पीछे एक ही सरल विचार है जिसे आप खुद जाँच सकते हैं। इस लेख में हम वही विचार समझाएँगे, असली ग्रिड में इन्हें खोजने का तरीका बताएँगे और उदाहरणों को कदम-दर-कदम हल करेंगे।

इस लेख में इस्तेमाल होने वाला संकेतन

हम खानों को rXcY के रूप में लिखते हैं, जो दुनिया भर के सुडोकू खिलाड़ियों में प्रचलित है: r का मतलब पंक्ति (row, ऊपर से नीचे 1 से 9) और c का मतलब स्तंभ (column, बाएँ से दाएँ 1 से 9)। यानी r4c7 वह खाना है जो पंक्ति 4 और स्तंभ 7 पर है। कैंडिडेट वह अंक है जो आपके पेंसिल नोट्स के अनुसार किसी खाने में अभी भी आ सकता है। फ़िश तकनीकें तभी काम करती हैं जब जिस अंक को आप देख रहे हैं, उसके नोट्स पूरे और सही हों।

मूल विचार: बेस सेट और कवर सेट

हर फ़िश रेखाओं के दो समूहों से बनती है और हमेशा केवल एक अंक से जुड़ी होती है:

बेस सेट (base sets): वे रेखाएँ (पंक्तियाँ या स्तंभ) जिनमें आप देखते हैं कि अंक कहाँ-कहाँ आ सकता है।
कवर सेट (cover sets): दूसरी दिशा की वे रेखाएँ जिनमें ये सभी संभावित जगहें आ जाती हैं।

नियम यह है: अगर N पंक्तियों में कोई अंक केवल उन्हीं N स्तंभों के अंदर आ सकता है, तो ये N पंक्तियाँ उन सभी N स्तंभों में उस अंक की जगह भर देती हैं। इसलिए उन स्तंभों के बाकी सभी खानों से वह कैंडिडेट हटाया जा सकता है।

यह सही क्यों है? हर बेस पंक्ति में वह अंक ठीक एक बार आना ज़रूरी है, इसलिए N पंक्तियाँ उस अंक की N प्रतियाँ देती हैं। ये सभी N कवर स्तंभों में ही पड़ती हैं, और किसी स्तंभ में वही अंक दो बार नहीं आ सकता। तो हर कवर स्तंभ को अपनी इकलौती प्रति किसी बेस पंक्ति से मिलती है, और उन स्तंभों में उस अंक के लिए कहीं और जगह नहीं बचती। आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं कि असली व्यवस्था कौन-सी है; हर संभव व्यवस्था एक ही नतीजे पर पहुँचती है।

X-Wing: दो रेखाओं वाली फ़िश

X-Wing में दो बेस रेखाएँ और दो कवर रेखाएँ होती हैं।

पंक्ति-आधारित X-Wing का उदाहरण

मान लीजिए आप अंक 5 पर ध्यान दे रहे हैं और पाते हैं कि:

पंक्ति 2 में 5 केवल r2c3 या r2c7 में आ सकता है।
पंक्ति 6 में 5 केवल r6c3 या r6c7 में आ सकता है।

ये चार खाने एक आयत के कोने बनाते हैं। 5 रखने के सिर्फ़ दो तरीके हैं: या तो r2c3 और r6c7, या r2c7 और r6c3 (दो विकर्ण, इसी से नाम में "X" आया)। दोनों ही स्थितियों में स्तंभ 3 को अपना 5 पंक्ति 2 या 6 से मिलता है, और स्तंभ 7 को दूसरा। इसलिए स्तंभ 3 और 7 के बाकी सभी खानों से 5 हटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अगर r4c3, r9c3 और r8c7 में 5 कैंडिडेट था, तो तीनों हट जाएँगे।

स्तंभ-आधारित X-Wing का उदाहरण

दिशाएँ बदल देने पर भी यही तर्क चलता है। मान लीजिए अंक 4 स्तंभ 1 में केवल r3c1 और r8c1 में, और स्तंभ 5 में केवल r3c5 और r8c5 में आ सकता है। अब स्तंभ बेस सेट हैं और पंक्ति 3 व 8 कवर सेट। तब 4 को पंक्ति 3 और 8 के बाकी सभी खानों से, जैसे r3c9 या r8c2 से, हटाया जा सकता है।

याद रखें: पैटर्न बेस रेखाओं में खोजा जाता है, और कैंडिडेट कवर रेखाओं से हटाए जाते हैं। इन दोनों को उलझा देना फ़िश की सबसे आम गलती है।

Swordfish: वही विचार, तीन रेखाओं के साथ

Swordfish असल में X-Wing का ही बड़ा रूप है, जिसमें तीन पंक्तियाँ और तीन स्तंभ होते हैं। एक अहम बात जो कई खिलाड़ी चूक जाते हैं: हर बेस पंक्ति में तीनों कवर स्तंभ होना ज़रूरी नहीं है। बस उसमें कम से कम दो कैंडिडेट हों (एक ही होता तो वह पहले से हिडन सिंगल होता) और उसके सभी कैंडिडेट उन तीन कवर स्तंभों के अंदर हों।

Swordfish का हल किया हुआ उदाहरण

अंक 7 को लीजिए, जिसकी कैंडिडेट स्थितियाँ ये हैं:

बेस पंक्ति	जिन खानों में 7 आ सकता है	इस्तेमाल हुए स्तंभ
पंक्ति 1	r1c2, r1c6	2, 6
पंक्ति 4	r4c2, r4c9	2, 9
पंक्ति 8	r8c2, r8c6, r8c9	2, 6, 9

पंक्ति 1, 4 और 8, तीनों को एक-एक 7 चाहिए, और हर संभव जगह स्तंभ 2, 6 और 9 में है। तीन पंक्तियाँ तीन 7 देती हैं, जो तीन अलग-अलग स्तंभों में होने चाहिए; इसलिए स्तंभ 2, 6 और 9 में से हर एक को अपना 7 इन्हीं पंक्तियों में से किसी एक से मिलता है। नतीजा: स्तंभ 2, 6 और 9 के बाकी सभी खानों से 7 हटाया जा सकता है। अगर r3c6, r6c9 और r9c2 में 7 कैंडिडेट था, तो वह हर जगह से हट जाएगा।

ध्यान दें कि यह "2-2-3" पैटर्न है। "2-2-2" पैटर्न भी मान्य हैं, जैसे एक पंक्ति में स्तंभ 2 और 6, दूसरी में 6 और 9, तीसरी में 2 और 9। ऐसे Swordfish पहचानना सबसे मुश्किल होता है, क्योंकि कोई भी अकेली पंक्ति तीनों स्तंभ नहीं दिखाती।

X-Wing की तरह स्तंभ-आधारित Swordfish भी होता है: तीन स्तंभ जिनमें किसी अंक के कैंडिडेट केवल तीन पंक्तियों में हों; तब उन पंक्तियों से कैंडिडेट हटाए जाते हैं।

Jellyfish और इससे आगे क्यों नहीं

Jellyfish यही तर्क चार पंक्तियों और चार स्तंभों पर लगाती है, और व्यवहार में बहुत कम दिखती है। इससे बड़ी फ़िश की ज़रूरत नहीं पड़ती: अगर किसी एक दिशा में पाँच या ज़्यादा रेखाओं वाली फ़िश है, तो दूसरी दिशा में हमेशा एक छोटी फ़िश होती है जो वही कैंडिडेट हटाती है। यानी X-Wing, Swordfish और Jellyfish इस परिवार की पूरी ज़रूरत पूरी कर देती हैं।

फ़िश	बेस रेखाएँ	कवर रेखाएँ	कितनी बार काम आती है
X-Wing	2	2	कठिन पहेलियों में अक्सर
Swordfish	3	3	कठिन और एक्सपर्ट पहेलियों में कभी-कभी
Jellyfish	4	4	बहुत कम

फ़िश को कदम-दर-कदम कैसे खोजें

एक ही अंक चुनें। सभी कैंडिडेट एक साथ देखने पर फ़िश दिखाई ही नहीं देती। कई ऐप किसी एक अंक के कैंडिडेट हाइलाइट कर सकते हैं; नहीं तो जान-बूझकर सिर्फ़ उसी अंक को खोजें।
वे पंक्तियाँ लिखें जिनमें उस अंक के केवल 2 या 3 कैंडिडेट हों, साथ में स्तंभ संख्याएँ भी, जैसे "पंक्ति 1: 2, 6"।
मेल खोजें। एक जैसे दो स्तंभों वाली दो पंक्तियाँ X-Wing बनाती हैं। ऐसी तीन पंक्तियाँ जिनके स्तंभ मिलाकर केवल तीन अलग स्तंभ बनें, Swordfish बनाती हैं।
देखें कि हटाने लायक कुछ है या नहीं। अगर कवर स्तंभों में उस अंक का कोई और कैंडिडेट नहीं है, तो सबसे सटीक पैटर्न भी बेकार है।
यही काम स्तंभों को बेस मानकर दोहराएँ, फिर अगले अंक पर जाएँ।

सुनने में यह धीमा लगता है, पर अभ्यास के साथ हर अंक की छोटी-सी स्तंभ सूची बनाना और मिलाना बहुत जल्दी होने लगता है।

आम गलतियाँ

गलत रेखाओं से कैंडिडेट हटाना। पंक्ति-आधारित फ़िश में कैंडिडेट कवर स्तंभों से हटाए जाते हैं, बेस पंक्तियों से कभी नहीं।
एक भटका हुआ कैंडिडेट। अगर किसी बेस पंक्ति में वह अंक कवर सेट के बाहर के किसी स्तंभ में भी आ सकता है, तो पैटर्न टूट जाता है। बेस रेखाओं का हर कैंडिडेट कवर रेखाओं के अंदर होना चाहिए।
यह मानना कि Swordfish की हर पंक्ति में तीन खाने चाहिए। जैसा ऊपर दिखाया, हर पंक्ति में दो काफ़ी हैं।
अधूरे पेंसिल नोट्स। अगर कोई कैंडिडेट लिखना भूल गए, तो आप ऐसी फ़िश "देख" सकते हैं जो है ही नहीं, और गलत कैंडिडेट हटा सकते हैं।
अंकों को मिला देना। एक फ़िश के सभी खाने एक ही अंक से जुड़े होने चाहिए।

कठिनाई के पैमाने पर फ़िश कहाँ आती है

काफ़ी इस्तेमाल होने वाली Sudoku Explainer (SE) रेटिंग में X-Wing लगभग 3.2 और Swordfish लगभग 3.8 पर आती है, यानी पेयर और ट्रिपल से ऊपर, लेकिन चेन तकनीकों से काफ़ी नीचे। कोई पहेली ऐसी तकनीकें माँगेगी या नहीं, यह जानने के लिए आप हमारे SE Rating कैलकुलेटर से उसकी रेटिंग देख सकते हैं।

निष्कर्ष

फ़िश तकनीकों का सार एक अंक और एक गिनती वाला तर्क है: N रेखाएँ, N जगहें, और बाकी किसी के लिए कोई जगह नहीं। शुरुआत X-Wing खोजने से करें, जो नियमित रूप से मिलती है, फिर दो कैंडिडेट वाली पंक्तियों वाले Swordfish पहचानने की आदत डालें। इसे स्वाभाविक बनाने का सबसे अच्छा तरीका अभ्यास है: हमारे सुडोकू पेज पर कोई कठिन या एक्सपर्ट पहेली खोलें, या आज की डेली सुडोकू आज़माएँ, और हर बार एक ही अंक पर ध्यान दें।

सुडोकू में X-Wing और Swordfish: फ़िश तकनीकें आसान भाषा में