सुडोकू में लॉक्ड कैंडिडेट्स: पॉइंटिंग और क्लेमिंग की पूरी समझ

आपने सारे नेकेड सिंगल और हिडन सिंगल भर दिए हैं, ग्रिड अभी भी आधा खाली है और कोई भी खाना आगे नहीं बढ़ रहा। लगभग हर मीडियम या हार्ड सुडोकू में यह मोड़ आता है, और ज़्यादातर मामलों में आगे का रास्ता एक तकनीक से निकलता है जिसे लॉक्ड कैंडिडेट्स (Locked Candidates) कहते हैं। इसके दो रूप हैं जो एक-दूसरे का उल्टा हैं: पॉइंटिंग (Pointing) और क्लेमिंग (Claiming, जिसे Box-Line Reduction भी कहा जाता है)। एक बार इसका तर्क समझ आ गया, तो आप इसे लगभग हर पहेली में पहचानने लगेंगे।

इस लेख में इस्तेमाल होने वाला संकेत

पंक्तियाँ (rows) ऊपर से नीचे 1 से 9 तक और स्तंभ (columns) बाएँ से दाएँ 1 से 9 तक गिने जाते हैं। किसी खाने को हम अंतरराष्ट्रीय तरीके rXcY से लिखते हैं: r यानी पंक्ति (row) और c यानी स्तंभ (column)। जैसे r2c7 का मतलब है पंक्ति 2 और स्तंभ 7 वाला खाना। नौ 3×3 बॉक्स बाएँ से दाएँ और ऊपर से नीचे 1 से 9 तक गिने जाते हैं: बॉक्स 1 ऊपर-बाएँ वाला है (पंक्ति 1–3, स्तंभ 1–3), बॉक्स 5 बीच में है और बॉक्स 9 नीचे-दाएँ। कैंडिडेट वह अंक है जो किसी खाली खाने में नियम तोड़े बिना अभी भी आ सकता है; बहुत से खिलाड़ी इन्हें खाने के कोने में छोटे नोट्स की तरह लिखते हैं।

मूल विचार: जहाँ बॉक्स और लाइन मिलते हैं

हर बॉक्स अपने अंदर से गुज़रने वाली हर पंक्ति और हर स्तंभ के साथ ठीक तीन खाने साझा करता है। उदाहरण के लिए बॉक्स 1 और पंक्ति 2 के साझा खाने हैं r2c1, r2c2 और r2c3। लॉक्ड कैंडिडेट्स इसी तीन खानों वाले मिलन-क्षेत्र पर किया गया सावधान तर्क है:

• हर बॉक्स में हर अंक ठीक एक बार आना चाहिए।
• हर पंक्ति और हर स्तंभ में भी हर अंक ठीक एक बार आना चाहिए।
• इसलिए अगर कोई अंक एक तरफ़ से इस मिलन-क्षेत्र में आने को मजबूर है, तो वह दूसरी तरफ़ कहीं और नहीं आ सकता।

दोनों दिशाओं में फ़र्क़ बस इतना है कि मजबूरी कौन-सी इकाई पैदा कर रही है।

पॉइंटिंग: बॉक्स एक लाइन की ओर इशारा करता है

हम बॉक्स 1 में अंक 5 ढूँढ रहे हैं। स्थिति यह है:

• r1c1, r1c2 और r1c3 में पहले से 3, 8 और 1 भरे हैं।
• r2c2 में 9 है।
• पंक्ति 3 में पहले से एक 5 है, r3c8 में, इसलिए पंक्ति 3 के किसी भी खाने में दूसरा 5 नहीं आ सकता।

बॉक्स की ऊपरी पंक्ति भरी है और निचली पंक्ति 5 के लिए बंद है, इसलिए बॉक्स 1 के 5 के लिए सिर्फ़ दो जगहें बचती हैं: r2c1 या r2c3। अभी हमें नहीं पता कि कौन-सी, लेकिन इतना पक्का है कि बॉक्स 1 का 5 पंक्ति 2 में है। पंक्ति 2 में केवल एक ही 5 हो सकता है, इसलिए पंक्ति 2 के बाक़ी सभी खानों से 5 को कैंडिडेट के रूप में हटाया जा सकता है: r2c4, r2c5, r2c6, r2c7, r2c8 और r2c9। (इस ग्रिड में बॉक्स 3 का 5 पहले से r3c8 में है, इसलिए असल में कैंडिडेट बॉक्स 2 के r2c4–r2c6 वाले खाली खानों से ही हटता है।)

यह हटाना अक्सर एक और क़दम खोल देता है। बॉक्स 2 अब अपना 5 पंक्ति 2 में नहीं रख सकता, और पंक्ति 3 में पहले से 5 है, तो बॉक्स 2 का 5 पंक्ति 1 में ही होगा। अगर वहाँ 5 के लिए सिर्फ़ एक खाली खाना बचा है, तो आपको एक हिडन सिंगल मिल गया।

स्तंभों के साथ भी पॉइंटिंग ऐसे ही काम करता है: अगर बॉक्स 7 में अंक 4 के सारे कैंडिडेट स्तंभ 2 में हैं, तो बॉक्स 1 और बॉक्स 4 में स्तंभ 2 से 4 हटाया जा सकता है।

क्लेमिंग: लाइन एक बॉक्स पर दावा करती है

अब तर्क को उलट देते हैं। पंक्ति 4 और अंक 7 को देखिए:

• r4c3, r4c4, r4c6, r4c7 और r4c9 पहले से भरे हैं (2, 6, 4, 9 और 1 से)।
• स्तंभ 5 में r8c5 पर पहले से 7 है, इसलिए r4c5 में 7 नहीं आ सकता।
• स्तंभ 8 में r1c8 पर पहले से 7 है, इसलिए r4c8 में भी 7 नहीं आ सकता।

पंक्ति 4 में 7 के लिए सिर्फ़ r4c1 और r4c2 बचते हैं, और दोनों बॉक्स 4 में हैं। पंक्ति 4 में 7 आना ही है, तो वह 7 बॉक्स 4 के अंदर होगा। बॉक्स 4 में भी केवल एक 7 हो सकता है, इसलिए बॉक्स 4 के बाक़ी सभी खानों से 7 हटाया जा सकता है: r5c1, r5c2, r5c3, r6c1, r6c2 और r6c3। पंक्ति ने बॉक्स के अपने हिस्से के लिए इस अंक पर "दावा" कर लिया है।

स्तंभों के साथ क्लेमिंग बिल्कुल वैसा ही है: अगर स्तंभ 9 में अंक 2 के लिए सिर्फ़ r7c9 और r9c9 बचे हैं (दोनों बॉक्स 9 में), तो बॉक्स 9 के बाक़ी हिस्से से, यानी स्तंभ 7 और 8 से, 2 हटाया जा सकता है।

पॉइंटिंग या क्लेमिंग? एक आसान जाँच

दोनों रूप मिलन-क्षेत्र के "बाहर" के कैंडिडेट हटाते हैं, लेकिन अलग-अलग इकाइयों से। ख़ुद से पूछिए: मैं इस वक़्त किस इकाई के अंदर देख रहा हूँ?

• आप एक बॉक्स के अंदर देख रहे हैं और कैंडिडेट एक सीधी लाइन में हैं → पॉइंटिंग → लाइन साफ़ कीजिए।
• आप एक पंक्ति या स्तंभ के अंदर देख रहे हैं और कैंडिडेट एक बॉक्स में समा जाते हैं → क्लेमिंग → बॉक्स साफ़ कीजिए।

मिलन-क्षेत्र के तीन खानों में कभी कुछ नहीं हटाया जाता; वहाँ के कैंडिडेट जैसे हैं वैसे ही रहते हैं।

लॉक्ड कैंडिडेट्स कैसे खोजें

1. पहले कैंडिडेट सही लिखिए। यह तकनीक उतनी ही भरोसेमंद है जितने आपके नोट्स। एक छूटा हुआ या फ़ालतू कैंडिडेट ग़लत हटाव की ओर ले जाता है।
2. एक-एक अंक लेकर चलिए। कोई अंक चुनिए, जैसे 6, और नौ के नौ बॉक्स देखिए। जिस बॉक्स में 6 अभी नहीं भरा, वहाँ देखिए कि उसके कैंडिडेट एक ही पंक्ति या स्तंभ में हैं या नहीं। जिन बॉक्सों में उस अंक के दो या तीन कैंडिडेट हैं, वहीं पॉइंटिंग की संभावना सबसे ज़्यादा होती है।
3. फिर लाइनें देखिए। उसी अंक के साथ पंक्तियों और स्तंभों से गुज़रिए। जहाँ किसी लाइन में दो या तीन कैंडिडेट हों, जाँचिए कि वे सब एक ही बॉक्स में हैं या नहीं।
4. हर हटाव के बाद सिंगल दोबारा देखिए। लॉक्ड कैंडिडेट्स अक्सर पास में ही कोई सिंगल खोल देते हैं, और अगला पैटर्न ढूँढने से पहले उन्हें भर लेना कहीं तेज़ है।

नोट्स के बिना भी पॉइंटिंग जोड़ी आँख से पकड़ी जा सकती है: किसी अंक के लिए बॉक्स स्कैन करते समय अगर एक ही पंक्ति में दो संभावित खाने बचें, तो पड़ोसी बॉक्सों में उस पंक्ति को उस अंक के लिए मन ही मन बंद कर दीजिए।

आम ग़लतियाँ

• किसी एक कैंडिडेट को नज़रअंदाज़ करना। बॉक्स (या लाइन) में उस अंक के सभी कैंडिडेट मिलन-क्षेत्र में होने चाहिए। एक भी बाहर हो तो कोई पैटर्न नहीं है।
• ग़लत इकाई से हटाना। पॉइंटिंग में लाइन साफ़ होती है, बॉक्स नहीं; क्लेमिंग में बॉक्स साफ़ होता है, लाइन नहीं। इन्हें मिलाने से सही कैंडिडेट मिट जाते हैं और पहेली हल नहीं होती।
• मिलन-क्षेत्र के अंदर से हटाना। पैटर्न बनाने वाले खाने अपने कैंडिडेट बनाए रखते हैं।
• सिंगल को पैटर्न समझ लेना। अगर सिर्फ़ एक खाना बचा है तो वह हिडन सिंगल है: अंक सीधे भर दीजिए।
• पुराने नोट्स के साथ काम करना। कोई अंक भरने के बाद, नए पैटर्न ढूँढने से पहले उसकी पंक्ति, स्तंभ और बॉक्स के कैंडिडेट अपडेट कीजिए।

सिंगल के बाद यही पहला क़दम क्यों है

सिंगल बताते हैं कि कोई अंक कहाँ जाएगा। लॉक्ड कैंडिडेट्स वह सबसे सरल तकनीक है जो अंक का सटीक खाना तय किए बिना बताती है कि वह कहाँ नहीं जा सकता। इसमें सिर्फ़ एक अंक और एक बॉक्स-लाइन मिलन शामिल होता है, इसलिए कठिनाई में यह स्वाभाविक अगला पायदान है। रेटिंग सिस्टम भी यही दिखाते हैं: Sudoku Explainer पैमाने पर पॉइंटिंग को 2.6 और क्लेमिंग को 2.8 मिलता है, जो 3.0 वाले नेकेड पेयर से ठीक नीचे है। किसी पहेली की कठिनाई कैसे मापी जाती है, यह जानने के लिए हमारा SE रेटिंग कैलकुलेटर देखिए, जो बताता है कि पहेली को कौन-सी तकनीकें चाहिए। व्यवहार में मीडियम या हार्ड कही जाने वाली कई पहेलियाँ सिर्फ़ सिंगल और लॉक्ड कैंडिडेट्स से हल हो जाती हैं।

अभ्यास से यह अपने आप होने लगता है

शुरुआत में आप लॉक्ड कैंडिडेट्स जान-बूझकर स्कैन करके ढूँढेंगे। कुछ पहेलियों के बाद किसी बॉक्स में एक सीध में लिखे दो नोट्स अपने आप नज़र आने लगेंगे और हटाव एक नज़र में दिख जाएगा। हमारे ऑनलाइन सुडोकू पर कोई मीडियम या हार्ड पहेली आज़माइए, आज की डेली सुडोकू हल कीजिए, और जब सिंगल के बाद अटकें, तो एक-एक अंक लेकर ऐसा बॉक्स ढूँढिए जो इशारा करता है या ऐसी लाइन जो दावा करती है।