Früher oder später steht jeder Sudoku-Spieler vor derselben Wand: Die Singles sind aufgebraucht, Paare und Tripel bringen nichts mehr, und trotzdem sind noch Dutzende Felder leer. Genau hier lassen sich viele schwere Rätsel mit einer Gruppe von Techniken knacken, die man Fische nennt. Die beiden wichtigsten sind der X-Wing und der Swordfish (Schwertfisch). Auf Diagrammen wirken sie einschüchternd, doch sie beruhen auf einer einzigen einfachen Überlegung, die Sie selbst nachprüfen können. Dieser Artikel erklärt diese Überlegung, zeigt, wie Sie Fische im echten Gitter finden, und geht Beispiele Schritt für Schritt durch.
Die Schreibweise in diesem Artikel
Wir benennen Felder international üblich als rXcY: r steht für die Zeile (englisch „row“, 1 bis 9 von oben nach unten), c für die Spalte (englisch „column“, 1 bis 9 von links nach rechts). r4c7 ist also das Feld in Zeile 4, Spalte 7. Ein Kandidat ist eine Ziffer, die laut Ihren Notizen in einem Feld noch möglich ist. Fisch-Techniken funktionieren nur, wenn Ihre Notizen für die betrachtete Ziffer vollständig und korrekt sind.
Die Grundidee: Basismengen und Deckmengen
Jeder Fisch besteht aus zwei Gruppen von Linien und betrifft immer genau eine Ziffer:
- Basismengen (base sets): die Linien (Zeilen oder Spalten), in denen Sie untersuchen, wo die Ziffer stehen kann.
- Deckmengen (cover sets): die Linien in der anderen Richtung, die all diese möglichen Positionen enthalten.
Die Regel lautet: Kann eine Ziffer in N Zeilen nur innerhalb derselben N Spalten stehen, dann verbrauchen diese N Zeilen die Ziffer in allen N Spalten. Aus allen übrigen Feldern dieser Spalten darf der Kandidat gestrichen werden.
Warum ist das korrekt? Jede Basiszeile muss die Ziffer genau einmal enthalten, die N Zeilen liefern also N Exemplare. Alle landen in den N Deckspalten, und keine Spalte darf die Ziffer zweimal enthalten. Folglich bekommt jede Deckspalte ihr einziges Exemplar aus einer Basiszeile, und für die Ziffer bleibt in diesen Spalten sonst kein Platz. Sie müssen nicht wissen, welche Verteilung die richtige ist: Jede mögliche Verteilung führt zu derselben Streichung.
X-Wing: der Fisch mit zwei Linien
Ein X-Wing verwendet zwei Basislinien und zwei Decklinien.
Beispiel: X-Wing über Zeilen
Angenommen, Sie betrachten die Ziffer 5 und stellen fest:
- In Zeile 2 kann die 5 nur in r2c3 oder r2c7 stehen.
- In Zeile 6 kann die 5 nur in r6c3 oder r6c7 stehen.
Diese vier Felder bilden die Ecken eines Rechtecks. Es gibt nur zwei Möglichkeiten: entweder r2c3 und r6c7 oder r2c7 und r6c3 – die beiden Diagonalen, daher das „X“ im Namen. In beiden Fällen erhält Spalte 3 ihre 5 aus Zeile 2 oder 6 und Spalte 7 die andere. Deshalb darf die 5 aus allen anderen Feldern der Spalten 3 und 7 entfernt werden. Stünde sie etwa noch als Kandidat in r4c3, r9c3 und r8c7, fallen alle drei weg.
Beispiel: X-Wing über Spalten
Mit vertauschten Richtungen funktioniert es genauso. Kann die 4 in Spalte 1 nur in r3c1 und r8c1 und in Spalte 5 nur in r3c5 und r8c5 stehen, sind die Spalten die Basismengen und die Zeilen 3 und 8 die Deckmengen. Die 4 darf dann aus allen übrigen Feldern der Zeilen 3 und 8 gestrichen werden, zum Beispiel aus r3c9 oder r8c2.
Merke: Das Muster suchen Sie in den Basislinien, gestrichen wird in den Decklinien. Wer das verwechselt, macht den häufigsten Fisch-Fehler.
Swordfish: dieselbe Idee mit drei Linien
Ein Swordfish ist ein auf drei Zeilen und drei Spalten erweiterter X-Wing. Das entscheidende Detail, das viele übersehen: Eine Basiszeile muss nicht alle drei Deckspalten enthalten. Sie braucht nur mindestens zwei Kandidaten (mit nur einem wäre es bereits ein Hidden Single), und alle ihre Kandidaten müssen in den drei Deckspalten liegen.
Durchgerechnetes Swordfish-Beispiel
Nehmen wir die Ziffer 7 mit folgenden Kandidatenpositionen:
| Basiszeile | Felder mit Kandidat 7 | Belegte Spalten |
|---|---|---|
| Zeile 1 | r1c2, r1c6 | 2, 6 |
| Zeile 4 | r4c2, r4c9 | 2, 9 |
| Zeile 8 | r8c2, r8c6, r8c9 | 2, 6, 9 |
Die Zeilen 1, 4 und 8 brauchen jeweils eine 7, und jede mögliche Position liegt in den Spalten 2, 6 und 9. Drei Zeilen liefern drei 7en, die in drei verschiedenen Spalten stehen müssen – also erhält jede der Spalten 2, 6 und 9 ihre 7 aus einer dieser Zeilen. Ergebnis: Die 7 darf aus allen anderen Feldern der Spalten 2, 6 und 9 gestrichen werden. Steht sie als Kandidat in r3c6, r6c9 und r9c2, verschwindet sie dort überall.
Das ist ein „2-2-3“-Muster. Auch „2-2-2“-Muster sind gültig, etwa eine Zeile mit den Spalten 2 und 6, eine zweite mit 6 und 9 und eine dritte mit 2 und 9. Diese Swordfish sind am schwersten zu entdecken, weil keine einzelne Zeile alle drei Spalten zeigt.
Wie beim X-Wing gibt es auch den Swordfish über Spalten: drei Spalten, deren Kandidaten einer Ziffer nur in drei Zeilen liegen; gestrichen wird dann in diesen Zeilen.
Jellyfish – und warum dort Schluss ist
Der Jellyfish (Qualle) wendet dieselbe Logik auf vier Zeilen und vier Spalten an und ist in der Praxis selten. Größere Fische braucht man nicht: Gibt es in einer Richtung einen Fisch mit fünf oder mehr Linien, existiert in der anderen Richtung immer ein kleinerer Fisch mit denselben Streichungen. X-Wing, Swordfish und Jellyfish decken die Familie also vollständig ab.
| Fisch | Basislinien | Decklinien | Wie oft man ihn braucht |
|---|---|---|---|
| X-Wing | 2 | 2 | Häufig bei schweren Rätseln |
| Swordfish | 3 | 3 | Gelegentlich bei schweren und Experten-Rätseln |
| Jellyfish | 4 | 4 | Selten |
So suchen Sie Fische Schritt für Schritt
- Wählen Sie eine einzige Ziffer. Wer alle Kandidaten gleichzeitig betrachtet, sieht keine Fische. Viele Apps können die Kandidaten einer Ziffer hervorheben; sonst suchen Sie gezielt nur nach ihr.
- Notieren Sie die Zeilen, in denen die Ziffer nur 2 oder 3 Kandidaten hat, jeweils mit den Spaltennummern, zum Beispiel „Zeile 1: 2, 6“.
- Suchen Sie Übereinstimmungen. Zwei Zeilen mit denselben zwei Spalten ergeben einen X-Wing. Drei Zeilen, deren Spalten zusammen nur drei verschiedene Spalten ergeben, bilden einen Swordfish.
- Prüfen Sie, ob es etwas zu streichen gibt. Ein perfektes Muster nützt nichts, wenn die Deckspalten keine weiteren Kandidaten dieser Ziffer enthalten.
- Wiederholen Sie das Ganze mit Spalten als Basis und gehen Sie dann zur nächsten Ziffer.
Das klingt mühsam, doch mit etwas Übung sind die kurzen Spaltenlisten pro Ziffer schnell erstellt und verglichen.
Häufige Fehler
- In den falschen Linien streichen. Bei einem Fisch über Zeilen wird in den Deckspalten gestrichen, niemals in den Basiszeilen selbst.
- Ein Ausreißer-Kandidat. Hat eine Basiszeile die Ziffer auch in einer Spalte außerhalb der Deckmenge, ist das Muster ungültig. Jeder Kandidat der Basislinien muss in den Decklinien liegen.
- Drei Felder pro Swordfish-Zeile erwarten. Zwei pro Zeile genügen, wie oben gezeigt.
- Unvollständige Notizen. Fehlt ein Kandidat, „sieht“ man womöglich einen Fisch, den es nicht gibt, und streicht falsch.
- Ziffern vermischen. Alle Felder eines Fisches müssen dieselbe Ziffer betreffen.
Wo Fische auf der Schwierigkeitsskala stehen
In der verbreiteten Sudoku-Explainer-Bewertung (SE) liegt der X-Wing bei etwa 3,2 und der Swordfish bei etwa 3,8 – über Paaren und Tripeln, aber deutlich unter Ketten-Techniken. Ob ein Rätsel solche Techniken erfordert, können Sie mit unserem SE-Rating-Rechner prüfen.
Fazit
Bei Fischen geht es um eine Ziffer und ein Zählargument: N Linien, N Positionen, kein Platz mehr für etwas anderes. Beginnen Sie mit der Jagd nach X-Wings, die regelmäßig vorkommen, und schulen Sie danach Ihren Blick für Swordfish mit Zwei-Kandidaten-Zeilen. Am schnellsten wird das zur Routine durch Übung: Öffnen Sie ein schweres oder Experten-Rätsel auf unserer Sudoku-Seite oder probieren Sie das heutige Tages-Sudoku – immer eine Ziffer nach der anderen.