Wer nackte und versteckte Einer sicher findet, löst die meisten leichten Sudokus zügig. Doch dann kommt ein mittleres oder schweres Rätsel, und plötzlich geht nichts mehr: In jeder leeren Zelle stehen noch zwei, drei oder vier Kandidaten, und keine Zahl lässt sich eindeutig setzen. Genau hier helfen Teilmengen: nackte Paare, nackte Drillinge, versteckte Paare und versteckte Drillinge. Sie setzen selten selbst eine Ziffer, räumen aber Kandidaten ab, sodass wieder Einer sichtbar werden.
In diesem Artikel geht es darum, warum diese Techniken funktionieren, worin sich nackte und versteckte Teilmengen unterscheiden, wie man sie im echten Gitter entdeckt und welche Fehler am meisten Zeit kosten.
Die gemeinsame Idee aller Teilmengen
Alle Teilmengen-Techniken beruhen auf einem einfachen Abzählargument. Jede Zeile, Spalte und jeder 3×3-Block (wir nennen sie im Folgenden Einheit) enthält jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal. Findest du in einer Einheit N Zellen, die zusammen nur N verschiedene Ziffern aufnehmen können, dann verbrauchen diese Zellen genau diese Ziffern. Keine andere Zelle der Einheit kann eine davon bekommen.
Die Umkehrung gilt ebenso: Können N Ziffern in einer Einheit nur in dieselben N Zellen, sind diese Zellen für sie reserviert, und alle anderen Kandidaten in diesen Zellen dürfen gestrichen werden.
Der erste Fall heißt nackte Teilmenge, der zweite versteckte Teilmenge. Alles Weitere ist Detailarbeit.
Nackte Paare
Ein nacktes Paar besteht aus zwei Zellen derselben Einheit, die genau dieselben zwei Kandidaten enthalten und sonst nichts. Wie auch immer das Rätsel aufgeht: Eine Zelle erhält die eine Ziffer, die andere die zweite. Beide Ziffern sind in dieser Einheit damit vergeben.
Beispiel
Eine Zeile enthält bereits 1, 3, 5 und 8. Die fünf leeren Zellen A bis E haben folgende Kandidaten:
| Zelle | Kandidaten vorher | Kandidaten nachher |
|---|---|---|
| A | {2,7} | {2,7} |
| B | {2,7} | {2,7} |
| C | {2,4,6,7} | {4,6} |
| D | {4,6,9} | {4,6,9} |
| E | {2,6,7,9} | {6,9} |
A und B enthalten beide nur {2,7}. Eine davon wird 2, die andere 7, also können weder 2 noch 7 in C, D oder E stehen. Nach dem Streichen bleibt in C {4,6} und in E {6,9}. D ist nicht betroffen. Übrigens teilen sich die drei übrigen Zellen jetzt nur noch 4, 6 und 9, was bereits der nächste Schritt derselben Logik ist.
Liegen die beiden Zellen eines nackten Paares zusätzlich im selben Block, darfst du die beiden Ziffern aus beiden Einheiten streichen. Man spricht dann manchmal von einem gesperrten Paar.
Nackte Drillinge: Nicht jede Zelle braucht alle drei Ziffern
Ein nackter Drilling sind drei Zellen einer Einheit, deren Kandidaten zusammengenommen aus nur drei Ziffern bestehen. Hier liegt das häufigste Missverständnis: Nicht jede Zelle muss alle drei Ziffern enthalten. Entscheidend ist die Vereinigung der Kandidaten. {1,5}, {5,8}, {1,8} ist ein völlig gültiger nackter Drilling, ebenso {1,5,8}, {1,5}, {5,8}.
Beispiel
Eine Spalte enthält bereits 2, 3, 6 und 7; die fünf leeren Zellen heißen P bis T:
| Zelle | Kandidaten vorher | Kandidaten nachher |
|---|---|---|
| P | {1,5} | {1,5} |
| Q | {5,8} | {5,8} |
| R | {1,8} | {1,8} |
| S | {1,4,5,9} | {4,9} |
| T | {4,8,9} | {4,9} |
P, Q und R verwenden zusammen nur 1, 5 und 8. Drei Zellen brauchen drei verschiedene Ziffern, und mehr als diese drei stehen ihnen nicht zur Verfügung. Also landen 1, 5 und 8 sämtlich in P, Q und R und dürfen aus S und T gestrichen werden. Jetzt sind S und T beide {4,9}: ein neues nacktes Paar, eine typische Kettenreaktion.
Eine nützliche Plausibilitätsprüfung: Findest du in einer Einheit vier Zellen, deren Kandidaten nur aus drei Ziffern bestehen, steckt bereits ein Fehler im Gitter. Dann solltest du deine Notizen überprüfen.
Versteckte Paare
Versteckte Teilmengen betrachten das Rätsel von den Ziffern aus statt von den Zellen. Ein verstecktes Paar sind zwei Ziffern, die in einer Einheit nur in denselben zwei Zellen als Kandidaten vorkommen. Diese Zellen dürfen weitere Kandidaten enthalten, deshalb ist das Paar „versteckt“.
Beispiel
Eine Zeile enthält 1, 5 und 8. Die sechs leeren Zellen A bis F sehen so aus:
| Zelle | Kandidaten vorher | Kandidaten nachher |
|---|---|---|
| A | {2,3,6,9} | {3,6} |
| B | {3,4,6} | {3,6} |
| C | {2,4,9} | {2,4,9} |
| D | {2,4,7} | {2,4,7} |
| E | {7,9} | {7,9} |
| F | {2,7,9} | {2,7,9} |
Geh Ziffer für Ziffer vor. Die 3 kommt nur in A und B vor. Die 6 ebenfalls nur in A und B. Da 3 und 6 in dieser Zeile irgendwo stehen müssen und nur A und B dafür infrage kommen, müssen A und B genau 3 und 6 enthalten. Alle anderen Kandidaten dieser beiden Zellen (2 und 9 in A, 4 in B) fallen weg. Danach sind A und B ein gewöhnliches nacktes Paar.
Versteckte Drillinge
Ein versteckter Drilling sind drei Ziffern, die in einer Einheit auf dieselben drei Zellen beschränkt sind. Wie beim nackten Drilling muss nicht jede Zelle alle drei Ziffern enthalten; die Bedingung ist nur, dass diese Ziffern nirgendwo sonst in der Einheit auftauchen.
Beispiel
Ein Block enthält 3, 6 und 8. Seine sechs leeren Zellen, nummeriert von 1 bis 6, haben diese Kandidaten:
| Zelle | Kandidaten vorher | Kandidaten nachher |
|---|---|---|
| 1 | {1,2,4,9} | {1,4} |
| 2 | {4,5,7} | {4,7} |
| 3 | {1,7,9} | {1,7} |
| 4 | {2,5} | {2,5} |
| 5 | {2,5,9} | {2,5,9} |
| 6 | {5,9} | {5,9} |
Wo können 1, 4 und 7 hin? Die 1 steht in Zelle 1 und 3, die 4 in Zelle 1 und 2, die 7 in Zelle 2 und 3. Alle drei Ziffern sind auf die Zellen 1, 2 und 3 beschränkt, also enthalten diese Zellen genau 1, 4 und 7. Wir streichen 2 und 9 aus Zelle 1, die 5 aus Zelle 2 und die 9 aus Zelle 3.
Ein Blick auf die Zellen 4, 5 und 6 zeigt {2,5}, {2,5,9} und {5,9}, also einen nackten Drilling auf 2, 5 und 9. Das ist kein Zufall: Zu jeder versteckten Teilmenge gibt es in den übrigen leeren Zellen der Einheit eine passende nackte Teilmenge. Wenn die eine schwer zu sehen ist, such nach der anderen.
So findest du Teilmengen im echten Gitter
- Führe vollständige Notizen. Teilmengen funktionieren nur, wenn wirklich alle möglichen Kandidaten eingetragen sind. Ein fehlender Kandidat kann ein falsches „Paar“ vortäuschen.
- Beginne mit nackten Paaren. Zwei identische Zellen mit je zwei Kandidaten in einer Einheit erkennt man am schnellsten.
- Bei versteckten Teilmengen zählst du Ziffern, nicht Zellen. Nimm eine Einheit und notiere für jede fehlende Ziffer, in wie vielen Zellen sie stehen kann. Ziffern mit nur zwei oder drei Positionen sind deine Spur.
- Bevorzuge Einheiten mit wenigen leeren Zellen. Bei fünf leeren Zellen bedeutet ein nacktes Paar automatisch einen versteckten Drilling in den restlichen drei; nimm, was leichter zu lesen ist.
- Kehre nach jeder Streichung zu den Einern zurück. Teilmengen sind vor allem dazu da, einfachere Züge freizulegen.
Typische Fehler
- Zellen außerhalb einer gemeinsamen Einheit. Zwei {2,7}-Zellen ohne gemeinsame Zeile, Spalte oder gemeinsamen Block sagen gar nichts aus.
- Streichen außerhalb der Einheit. Ein nacktes Paar in einer Zeile räumt nur diese Zeile auf, außer die beiden Zellen teilen sich auch Block oder Spalte.
- Falsche Kandidaten bei versteckten Teilmengen streichen. Beim versteckten Paar entfernst du die anderen Ziffern aus den beiden Zellen, nicht die Paarziffern aus dem Rest der Einheit (dort stehen sie ohnehin nicht).
- Die Vereinigung falsch zählen. {1,5}, {5,8}, {1,9} ist kein nackter Drilling, denn zusammen sind das vier Ziffern.
- Veralteten Notizen vertrauen. Nach jedem Setzen einer Ziffer zuerst Zeile, Spalte und Block aktualisieren, dann nach Teilmengen suchen.
Von Drillingen zu Vierlingen
Dieselbe Logik lässt sich auf vier Zellen und vier Ziffern übertragen: nackte Vierlinge und versteckte Vierlinge. Sie sind korrekt, aber selten und schwer zu erkennen. Wegen der Komplementregel hat ein Vierling in einer Einheit mit höchstens sieben leeren Zellen immer einen einfacheren Partner (Einer, Paar oder Drilling) in den übrigen Zellen, den man meist zuerst findet. Erst bei acht leeren Zellen steht einem versteckten Vierling ein nackter Vierling gegenüber; echte Vierlinge sind deshalb eher etwas für schwere Rätsel.
Schwierigkeitsbewertungen spiegeln diese Abstufung wider. In Bewertungen nach Art des Sudoku Explainer liegen nackte Paare bei etwa 3,0, versteckte Drillinge bei etwa 4,0 und Vierlinge noch darüber. Wie schwer ein bestimmtes Rätsel ist, kannst du mit unserem SE-Rating-Rechner prüfen.
Jetzt üben
Teilmengen sitzen erst, wenn man sie ein paar Mal selbst angewendet hat. Starte mit einem mittelschweren Sudoku, trage alle Kandidaten ein und suche in jeder Einheit nach einem nackten Paar, bevor du rätst. Probiere danach das tägliche Sudoku aus und achte darauf, wie oft ein verstecktes Paar den entscheidenden Durchbruch bringt. Nach einer Woche fühlen sich Paare und Drillinge so selbstverständlich an wie Einer.