Apartmanlar (Skyscrapers) bulmacasında bir satırın iki ucundaki ipuçlarını görünce çoğu oyuncu aynı soruyu sorar: “Bu iki sayıyla bu satıra kaç farklı dizilim sığar ve hangi hücre şimdiden belli?” Bu yazı o sorunun cevabını tablo olarak veriyor. 4×4, 5×5 ve 6×6 tablolar için her tek ipucunu ve her ipucu çiftini tek tek inceledik. Bir satırın alabileceği bütün dizilimleri (4×4'te 24, 5×5'te 120, 6×6'da 720 tane) bilgisayarla saydık ve her hücreye hangi yüksekliklerin girebildiğini çıkardık. Aşağıdaki sayıların hiçbiri tahmin değil; hepsi bu sayımın sonucu.
Temel kuralları ve çözüm tekniklerini daha önce Apartmanlar çözüm stratejileri yazısında anlattık. Bu yazı onun yanında açık tutulacak bir başvuru kaynağı: takıldığınız satırın ipuçlarını tabloda bulup adaylarınızı oradan işaretleyebilirsiniz.
Gösterim: a, b ve hücre numaraları
N tablonun boyutu (4, 5 ya da 6). Bir satırın solundaki ipucu a, sağındaki ipucu b. Hücreleri soldan sağa 1'den N'ye kadar numaralandırıyoruz. Sütunlar için aynı tablolar geçerli: üstteki ipucunu “sol”, alttakini “sağ” gibi okuyun. Tablolardaki “–” işareti o hücreye her yüksekliğin girebildiğini, yani ipucunun o hücre hakkında hiçbir şey söylemediğini gösterir.
Tek bir ipucu kaç dizilime izin verir?
Önce yalnızca bir kenarda ipucu olduğunu düşünelim. Aşağıdaki tablo, her ipucu değeri için o satıra uyan dizilim sayısını veriyor (parantez içinde toplam dizilim sayısı):
| Tablo | İpucu 1 | İpucu 2 | İpucu 3 | İpucu 4 | İpucu 5 | İpucu 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4×4 (24) | 6 | 11 | 6 | 1 | ||
| 5×5 (120) | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 | |
| 6×6 (720) | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |
İki şey hemen göze çarpıyor:
- En az bilgi veren ipucu 2'dir. 5×5'te 2 ipucu, 120 dizilimin 50 tanesine uyuyor; yani olasılıkların ancak yarısından biraz fazlasını eliyor. Buna karşılık 4 ipucu 10 dizilim, 5 ipucu tek bir dizilim bırakıyor. Bir satırda hem 2 hem de daha büyük bir ipucu varsa işe büyük olandan başlamak neredeyse her zaman daha hızlıdır.
- 1 ipucu dizilimlerin tam 1/N'ini bırakır (5×5'te 24), ama bilgisi çok değerlidir: en uzun binanın yerini kesin olarak söyler. Büyük ipuçları ise dizilim sayısını daha çok düşürür ama bilgiyi ilk birkaç hücreye yayar.
Matematiğe meraklı olanlar için: bu sayılar birinci türden (işaretsiz) Stirling sayılarıdır. Soldan görünen bina sayısı, bir permütasyondaki “o ana kadarki en büyük” elemanların sayısıdır ve bu sayının dağılımı tam olarak Stirling sayılarıyla verilir. 5×5 satırı için 24, 50, 35, 10, 1 dizisi bunun bir örneği.
Peki tek bir ipucu hücreler hakkında ne söylüyor? 5×5 için her hücrenin alabileceği yükseklikler:
| İpucu | Dizilim | 1. hücre | 2. hücre | 3. hücre | 4. hücre | 5. hücre |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 5 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 |
| 2 | 50 | 1 2 3 4 | 1 2 3 5 | – | – | – |
| 3 | 35 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | – | – | – |
| 4 | 10 | 1 2 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | – | – |
| 5 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Bu tablodaki 2 satırına dikkat edin: 2. hücrede 4 yok. Bu, ilk bakışta pek bilinmeyen ama her boyutta geçerli bir kural:
Kural 1: İpucu 2 olan bir kenarda, ipucuna en yakın ikinci hücre hiçbir zaman N−1 olamaz.
Nedeni kısa: İpucu 2 ise ilk hücre N olamaz (yoksa tek bina görünürdü). İkinci hücre N−1 olsaydı, ilk hücre N−1'den kısa olacağı için ilk hücre, N−1 ve daha geride duran N birlikte en az üç bina görünürdü. 6×6'da da aynı şey geçerlidir: 2 ipucunun yanındaki ikinci hücreye 5 yazılamaz.
İpucu çiftleri: sayım tablosu
Asıl güçlü bilgi bir satırın iki ucuna birlikte bakınca ortaya çıkar. Aşağıdaki tablolarda satırlar sol ipucunu (a), sütunlar sağ ipucunu (b) gösteriyor; her kutudaki sayı, iki ipucunu birden sağlayan dizilim sayısı.
4×4
| b = 1 | b = 2 | b = 3 | b = 4 | |
|---|---|---|---|---|
| a = 1 | 0 | 2 | 3 | 1 |
| a = 2 | 2 | 6 | 3 | 0 |
| a = 3 | 3 | 3 | 0 | 0 |
| a = 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
5×5
| b = 1 | b = 2 | b = 3 | b = 4 | b = 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| a = 1 | 0 | 6 | 11 | 6 | 1 |
| a = 2 | 6 | 22 | 18 | 4 | 0 |
| a = 3 | 11 | 18 | 6 | 0 | 0 |
| a = 4 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| a = 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
6×6
| b = 1 | b = 2 | b = 3 | b = 4 | b = 5 | b = 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a = 1 | 0 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |
| a = 2 | 24 | 100 | 105 | 40 | 5 | 0 |
| a = 3 | 50 | 105 | 60 | 10 | 0 | 0 |
| a = 4 | 35 | 40 | 10 | 0 | 0 | 0 |
| a = 5 | 10 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a = 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Sıfırların oluşturduğu üçgen, strateji yazısında kanıtladığımız a + b ≤ N + 1 kuralının kendisi: ipuçlarının toplamı bunu aşarsa satır çözümsüzdür. Toplam tam N + 1 olduğunda dizilim sayısı belirgin şekilde düşer (5×5'te 3 | 3 için yalnızca 6 dizilim). 2 | 2 ise her boyutta en kalabalık kutu: 5×5'te 22, 6×6'da 100 dizilim.
Bu sayıları hesaplamak için bütün dizilimleri tek tek yazmanız gerekmiyor. En uzun bina her iki taraftan da görünür. Solunda kalan binalar sol ipucunu, sağında kalanlar sağ ipucunu belirler. Bu gözlemden şu formül çıkar: a | b çiftine uyan dizilim sayısı, “a+b−2 içinden a−1 seçme” sayısı ile N−1 eleman için a+b−2'ye ait Stirling sayısının çarpımıdır. Örneğin 5×5'te 2 | 3 için: 3 içinden 1 seçme (3) × 6 = 18. Tablodaki bütün kutuları bu formülle tek tek kontrol ettik.
4×4: her ipucu çiftinin bütün satırları
4×4 tablo küçük olduğu için ipucu çiftlerine uyan satırların hepsini yazabiliyoruz. Kolay seviyede takıldığınızda bu liste satırın tamamını gösterir:
| Sol | Sağ | Dizilim | Mümkün olan bütün satırlar |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 4 1 2 3, 4 2 1 3 |
| 1 | 3 | 3 | 4 1 3 2, 4 2 3 1, 4 3 1 2 |
| 1 | 4 | 1 | 4 3 2 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 1 2 4, 3 2 1 4 |
| 2 | 2 | 6 | 1 4 2 3, 2 1 4 3, 2 4 1 3, 3 1 4 2, 3 2 4 1, 3 4 1 2 |
| 2 | 3 | 3 | 1 4 3 2, 2 4 3 1, 3 4 2 1 |
| 3 | 1 | 3 | 1 3 2 4, 2 1 3 4, 2 3 1 4 |
| 3 | 2 | 3 | 1 2 4 3, 1 3 4 2, 2 3 4 1 |
| 4 | 1 | 1 | 1 2 3 4 |
2 | 2 dışındaki her çift en fazla üç satır bırakıyor. Yani 4×4 tabloda ipucu çifti olan bir satır, sütunlardan gelen tek bir bilgiyle çoğu zaman tamamen çözülür.
5×5: ipucu çiftlerinin aday tablosu
Orta seviyedeki 5×5 tablolarda satırların hepsini listelemek yerine her hücre için olası yükseklikleri veriyoruz. Bir satırın iki ipucunu bulun ve adaylarınızı doğrudan buradan not alın:
| Sol | Sağ | Dizilim | 1. hücre | 2. hücre | 3. hücre | 4. hücre | 5. hücre |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 6 | 5 | 1 2 3 | 1 2 3 | 1 2 3 | 4 |
| 1 | 3 | 11 | 5 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 4 | 1 2 3 |
| 1 | 4 | 6 | 5 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 | 1 2 |
| 1 | 5 | 1 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 6 | 4 | 1 2 3 | 1 2 3 | 1 2 3 | 5 |
| 2 | 2 | 22 | 1 2 3 4 | 1 2 3 5 | 1 2 3 5 | 1 2 3 5 | 1 2 3 4 |
| 2 | 3 | 18 | 1 2 3 4 | 1 2 3 5 | – | 1 2 3 4 | 1 2 3 |
| 2 | 4 | 4 | 1 2 3 4 | 5 | 3 4 | 2 3 | 1 2 |
| 3 | 1 | 11 | 1 2 3 | 1 2 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 5 |
| 3 | 2 | 18 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | – | 1 2 3 5 | 1 2 3 4 |
| 3 | 3 | 6 | 1 2 3 | 2 3 4 | 5 | 2 3 4 | 1 2 3 |
| 4 | 1 | 6 | 1 2 | 1 2 3 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 5 |
| 4 | 2 | 4 | 1 2 | 2 3 | 3 4 | 5 | 1 2 3 4 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Tabloda birkaç kalıp hemen göze çarpıyor:
- 2 | 4 ve 4 | 2 çiftleri 5'in yerini kesinleştiriyor ve 5 ile 4 ipucu arasındaki üç hücrenin her biri için yalnızca iki aday bırakıyor.
- 3 | 3 satırında 5 her zaman ortada, uçlarda yalnızca 1, 2 ya da 3 olabiliyor.
- 2 | 2 satırında 4 yalnızca uçlardaki iki hücrede görünüyor. Bu bir rastlantı değil; aşağıdaki Kural 2'nin sonucu.
6×6: en çok işe yarayan satırlar
Zor seviyedeki 6×6 tablolarda 21 ipucu çiftinin hepsini vermek tabloyu okunmaz hâle getirirdi. Bu yüzden en çok işe yarayanları seçtik: toplamı 7 olan çiftler (en uzun binayı kesinleştirenler) ve 1 | 2, 2 | 2 gibi uçlarda bilgi verenler.
| Sol | Sağ | Dizilim | 1. hücre | 2. hücre | 3. hücre | 4. hücre | 5. hücre | 6. hücre |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 24 | 6 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 5 |
| 1 | 6 | 1 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 24 | 5 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 6 |
| 2 | 2 | 100 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 6 | 1 2 3 4 6 | 1 2 3 4 6 | 1 2 3 4 6 | 1 2 3 4 5 |
| 2 | 5 | 5 | 1 2 3 4 5 | 6 | 4 5 | 3 4 | 2 3 | 1 2 |
| 3 | 4 | 10 | 1 2 3 4 | 2 3 4 5 | 6 | 3 4 5 | 2 3 4 | 1 2 3 |
| 4 | 3 | 10 | 1 2 3 | 2 3 4 | 3 4 5 | 6 | 2 3 4 5 | 1 2 3 4 |
| 5 | 2 | 5 | 1 2 | 2 3 | 3 4 | 4 5 | 6 | 1 2 3 4 5 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tablolardan çıkan iki kural daha
Kural 2: Bir satırın iki ucunda da 2 ipucu varsa ikinci en uzun bina (N−1) mutlaka uçtaki iki hücreden birindedir.
Kanıt: N−1, en uzun binanın ya solunda ya sağında durur. Diyelim solunda. Soldan bakınca N−1'in önünde ondan uzun bina yoktur, dolayısıyla N−1 görünür; arkasındaki N de görünür. İpucu 2 olduğuna göre başka bina görünmemelidir. Bu ancak N−1'in ilk hücre olmasıyla mümkündür. N−1 sağdaysa aynı akıl yürütme sağ uç için geçerlidir. 2 | 2 satırları en kalabalık satırlar olduğu için bu kural tam da en çok ihtiyaç duyulan yerde işe yarar: 5×5'te 22 dizilimi, 4'ün iki olası yerine indirir.
Kural 3: Bir satırın bir ucunda 1, diğer ucunda 2 varsa N, 1'in yanındadır; N−1 ise 2'nin yanındadır.
Kanıt: 1 ipucu N'yi kendi yanına koyar. Diğer uçtan bakınca N en uzaktaki hücrededir ve her zaman görünür; ipucu 2 olduğuna göre N'den önce yalnızca bir bina görünmelidir. N−1 bu uçtan mutlaka görünür, çünkü önünde ondan uzun bina yoktur. O hâlde görünen o tek bina N−1'dir ve ilk hücrede durmalıdır. Tablolarda 1 | 2 satırının son hücresinde her boyutta tek aday (4×4'te 3, 5×5'te 4, 6×6'da 5) görmenizin sebebi budur.
Adım adım bir örnek
5×5 bir tabloda bir satırın iki ucunda da 2 olduğunu ve şunları bildiğimizi düşünelim: 1. hücrenin sütununda 4 zaten var; 2. ve 4. hücrelerin sütunlarında da 5 var.
- Başlangıç: 2 | 2 için 22 dizilim var.
- Kural 2: 4 bir uçta olmalı. 1. hücreye giremediğine göre 5. hücre = 4. Geriye 11 dizilim kalır.
- 5'in yeri: 5, ilk hücreye giremez (sol ipucu 2), 2. ve 4. hücrelere de giremez (sütunlar). O hâlde 3. hücre = 5. Kalan dizilimler: 2 1 5 3 4, 3 1 5 2 4 ve 3 2 5 1 4.
- Soldan görünürlük: Soldan yalnızca 1. hücre ve 5 görünmeli, yani 2. hücre 1. hücreden kısa olmalı. Üç dizilimin üçü de bunu sağlıyor; burada karar 1. hücrenin sütunundan gelir. O sütunda 3 varsa satır 2 1 5 3 4 olarak kesinleşir.
120 olası dizilimden bire, tek bir tahmin yapmadan indik. İlk iki adımın ikisi de doğrudan tablolardan geliyor.
Tabloları çözerken nasıl kullanmalı?
- Bulmacaya başlarken iki ucunda ipucu olan satır ve sütunları bulun, aday tablosundaki hücre adaylarını not olarak yazın.
- Önce dizilim sayısı en düşük çiftlerle (1 | N, N | 1, toplamı N + 1 olanlar) ilgilenin; bunlar çoğu zaman bir ya da iki hücreyi kesinleştirir.
- 2 içeren kenarlarda Kural 1'i, 2 | 2 satırlarında Kural 2'yi, 1 | 2 satırlarında Kural 3'ü uygulayın.
- Her yerleştirmeden sonra Sudoku'daki gibi satır ve sütun elemesi yapın; tablodaki adaylar sütun bilgisiyle birleşince hızla daralır.
Tabloları denemek için 4×4 kolay, 5×5 orta ve 6×6 zor Apartmanlar bulmacalarını açabilirsiniz. Oyunu hiç bilmiyorsanız önce Apartmanlar oyunu nedir, nasıl oynanır? yazısına göz atın.
Sık sorulan sorular
Bu tablolar bütün Apartmanlar bulmacalarında geçerli mi?
Evet. Tablolar yalnızca tek bir satırın kurallarına dayanıyor: her yükseklik bir kez kullanılır ve uzun bina arkasındakileri gizler. Hangi siteden ya da kitaptan gelirse gelsin, aynı boyuttaki her Apartmanlar bulmacası için geçerlidir.
Satırın yalnızca bir ucunda ipucu varsa hangi tabloya bakmalıyım?
“Tek bir ipucu” bölümündeki aday tablosuna. Örneğin 5×5'te 3 ipucunun yanındaki ilk hücre en fazla 3, ikinci hücre en fazla 4 olabilir.
İpuçlarının toplamı N + 1'den büyükse ne olur?
O satırın çözümü yoktur. Sayım tablolarındaki sıfırlar bunu gösteriyor. Kendi bulmacanızı tasarlıyorsanız ilk kontrol etmeniz gereken şey budur.