सुडोकू कैसे काम करता है? संयोज्य गणना, ग्राफ कलरिंग, Exact Cover (DLX), कठिनाई माप, 17-क्लू सीमा और सममितियाँ।
सुडोकू गणित • संयोज्य गणना • ग्राफ कलरिंग • exact cover (dlx) • एकात्मकता
सुडोकू का आधार कॉम्बिनेटरिक्स है। 9×9 की वैध पूर्ण ग्रिडों की संख्या लगभग 6.67×1021 है। गिनती पंक्तियों/स्तंभों के क्रमचयों, बैंड/स्टैक संरचना और सममिति-घटाव से होती है। जेनरेटर प्रायः पहले पूर्ण समाधान बनाते हैं, फिर सुरागों (clues) को हटाकर तर्कसंगत और एकात्मक पहेली तैयार करते हैं।
सुडोकू को 81 चर (डोमेन {1,…,9}) और पंक्ति/स्तंभ/बॉक्स ऑल-डिफरेंट बाधाओं के साथ एक CSP माना जाता है। सॉल्वर डोमेन-फिल्टरिंग, संगतता और निर्देशित खोज का उपयोग करते हैं। मानव तकनीकें—Naked/Hidden Singles, Pairs, X-Wing—इन्हीं तार्किक क्रियाओं के नामित रूप हैं।
बोर्ड को संघर्ष-ग्राफ में बदलें: नोड = कोशिकाएँ, किनारे = वही पंक्ति/स्तंभ/बॉक्स। लक्ष्य 9-रंगाई है ताकि सटे नोड्स में रंग समान न हो। 3×3 बॉक्स बाधा ग्राफ को सघन बनाती है, इसलिए X-Wing व Swordfish जैसे वैश्विक पैटर्न शक्तिशाली हैं।
सुडोकू Exact Cover में घटित होता है: हर बाधा ठीक एक बार संतुष्ट हो। 729×324 द्विआधारी मैट्रिक्स में सेल-भराव और पंक्ति/स्तंभ/बॉक्स–अंक बाधाएँ एनकोड होती हैं। DLX (Dancing Links) इस मैट्रिक्स पर अत्यंत कुशल बैकट्रैकिंग करता है—कई उच्च-प्रदर्शन सॉल्वर का आधार।
कठिनाई केवल “ज्यादा खाली” नहीं है। यह (1) सुरागों का सूचना-विषयक प्रभाव (औसत उम्मीदवार एंट्रॉपी) और (2) खोज-लागत—आवश्यक तार्किक श्रृंखलाओं की गहराई—से आती है। अच्छे पहेलियों में सूचना प्रवाह स्थिर रहता है और मनमाना द्विभाजन टलता है।
गुणवत्तापूर्ण सुडोकू की एक ही समाधान होती है। मानक 9×9 में एकात्मकता हेतु ज्ञात न्यूनतम सुराग 17 हैं; 16 के साथ क्लासिक एकात्मक उदाहरण नहीं है। सममितियाँ सौंदर्य देती हैं, पर अधिक सममिति बहु-समाधान का जोखिम बढ़ाती है—डिज़ाइन में संतुलन ज़रूरी है।
सुडोकू गहरी अवधारणाओं का खेल-मुख है: कॉम्बिनेटरिक्स, ग्राफ कलरिंग, CSP, Exact Cover. निर्माण और समाधान का सार सूचना-प्रवाह को गढ़ना है। अभ्यास शुरू करें: Ozerlyn Sudoku।